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群体决策与孔多塞悖论

群体决策与孔多塞悖论

优质回答本节介绍群体决策与个体决策之间存在的矛盾关系。

我们知道，投票往往是群体决策之中的一个解决问题的有效方式。但是数学家孔多塞提出了一个群体决策中出现矛盾的悖论。

孔多塞悖论

假设甲乙丙三个人参与评审，三人对事物 的偏好如下：

甲:

乙：

丙：

根据这个结果，群体投票会出现结果 , ，同时有 这显然是一个荒谬的结果。

投票悖论说明了个体决策到群体决策之间转换的非传递性。因此我们目前看到很多决策方式往往是通过个体评分后取总分，或者求平均分。这是一种将个体决策转化为群体决策比较好的方式。

阿罗不可能定理

阿罗证明了关于社会决策的阿罗不可能定理： 不存在同时满足如下四个基本公理的社会选择函数：

1）个人偏好的无限制性，即对一个社会可能存在的所有状态，逻辑 上可能的个人偏好都不应当先验地被排除；

2）弱帕累托原则，

3）非相关目标，即关于一对社会目标的社会偏好序不受其它目标偏好序变化的影响；

4）社会偏好的非独裁性。

简单地说，阿罗的不可能定理意味着，在通常情况下，当社会所有成员的偏好为已知时，不可能通过一定的方法从个人偏好次序得出社会偏好次序，不可能通过一定的程序准确地表达社会全体成员的个人偏好或者达到合意的公共决策。

投票悖论表明：根本不存在一种能满足阿罗五个假设条件的社会选择原理。解决投票悖论的方法是限制投票偏好，即将多峰偏好改为单峰偏好。

投票悖论是什么？孔多塞悖论的发展与解决

优质回答投票悖论指的是在通过"多数原则"实现个人选择到集体选择的转换过程中所遇到的障碍或非传递性，这是阿罗的不大概定理衍生出的难题。公共选择理论对投票行为的研究假设投票是那些其福利受到投票结果影响的人们进行的，投票行为的作用是将个人偏好转化为社会偏好。在多数投票原则下，大概没有稳定一致的结果。

起源

历史

孔多塞发现这一悖论是在十八世纪。200多年来，西方国家对于民主政治的研究极其深入，关于投票问题已形成系统和成熟的理论体系，孔多塞、阿罗、阿马蒂亚·森等都曾在这一领域做出过杰出贡献。这些研究推动了西方民主的不断发展。

孔多塞悖论

十八世纪法国思想家孔多赛就提出了著名的"投票悖论"，也称做是"孔多塞悖论":假设甲乙丙三人，面对ABC三个备选方案，有如下图的偏好排序:

甲A>B>C

乙B>C>A

丙C>A>B

由于甲乙都以为B好于C，根据少数服从多数原则，社会也应以为B好于C;同样乙丙都以为C好于A，社会也应以为C好于A。所以社会以为B好于A。但是，甲丙都以为A好于B，所以出现矛盾。投票悖论反映了直观上良好的民主机制潜在的不协调。

在得多数票获胜的规则下，每个人均依照他的偏好来投票。大多数人是偏好x胜于y，同样大多数人也是偏好y胜于z。依照逻辑上的一致性，这种偏好应该是可以传递的（transivity），即大多数人偏好x胜于z。但实际上，大多数人偏好z胜于x。因此，以投票的多数规则来确定社会或集体的选择会产生回圈的结果，这就很像一只狗在追自个的尾巴，会没完没了地回圈下去。结果，在这些选择方案中，没有一个能够获得多数票而通过，这被称作"投票悖论"（thevotingparadox），它对所有的公共选择问题都是一种固有的难题，所有的公共选择规则都难以避开这种两难境地。

发展

1972年诺贝尔经济学奖的获得者肯尼思·阿罗，在他的《社会选择与个人价值》（1951）中，证明了著名的阿罗不大概性定理，把这个投票悖论形式化了。在该书中，他运用数学工具把孔多塞的观念严格化和一般化了。 那么，能不可以设计出一个消除回圈投票，做出合理决策的投票方案呢？

阿罗的结论

根本不存在一种能保证效率、尊重个人偏好、并且不依赖程式 （agenda）的多数规则的投

投票悖论

投票悖论

票方案。

阿罗证明

不存在同时满足如下四个基本公理的社会选择函式:

1）个人偏好的无限制性，即对一个社会大概存在的所有状态，逻辑 上大概的个人偏好都不应该先验地被排除;

2）弱帕累托原则，

3）非相关目标独立性，即关于一对社会目标的社会偏好序不受其它目标偏好序变化的影响;

4）社会偏好的非独裁性。

简单地说，阿罗的不大概定理意味着，在往往情况下，当社会所有成员的偏好为已知时，不大概通过一定的方法从个人偏好次序得出社会偏好次序，不大概通过一定的程式准确地表达社会全体成员的个人偏好或者达到合意的公共决策。投票悖论表明:根本不存在一种能满足阿罗五个假设条件的社会选择原理。解决投票悖论的方法是限制投票偏好，即将多峰偏好改为单峰偏好。

解决

1998年诺贝尔经济学奖获得者阿马蒂亚·森在20世纪70年代提出对"投票悖论"的解决方法。阿马蒂亚·森所提出的解决投票悖论、绕过"阿罗不大概定理"的方法就是改变甲、乙、丙其中一个人的偏好次序，以解决投票悖论的问题。

举例

比如将甲的偏好次序从（A>B>C）改变为（A>C>B）

，新的偏好次序排列如下:

甲A>C>B

乙B>C>A

丙C>A>B

于是得到三个社会偏好次序--（A>B）（C>B）（C>A），这样就能避开投票悖论，当然它却改变了甲的偏好次序。

阿马蒂亚·森选择模式

阿马蒂亚·森把这个发现加以延伸和拓展，得出了解决投票悖论的三种选择模式:

一、所有人都同意其中一项选择方案并非是最佳;

二、所有人都同意其中一项选择方案并非是次佳;

三、所有人都同意其中一项选择方案并非是最差。

阿马蒂亚·森表示在上述三种选择模式下，投票悖论不会再出现，取而代之的结果是得大多数票者获胜的规则总是能达到唯一的决定。但是有一个问题是为了追求一致性，改变、忽略、牺牲了个人偏好次序。

18世纪法国最后一位哲学家和数学家——孔多塞

优质回答孔多塞（Condorcet，Marie-Jean-Antoine-Nicolas-Caritat，Marquis de，1743.9.17-1794.3.29），又译康多塞。孔多塞是18世纪法国最后一位哲学家，同时也是一位数学家，启蒙运动的最杰出代表人物，政治上属于吉伦特派。有法国大革命"擎炬人"之誉。雅各宾派当政后被杀害。

成就

孔多塞的理论有两方面的成就:

一是主张社会政治研究必须引用数理方法。以此和维柯并列，成为18世纪建立有效的社会科学的努力中最有贡献的两个人。 孔多赛提出了著名的"投票悖论"，就是"孔多塞悖论"。

其二，就是《人类精神进步史表纲要》中提出的"人类不断进步"的历史观念，而成为西方历史哲学中历史进步观的奠基人之一。

这本书是18世纪启蒙哲学的经典，巨集观透视人类进步的历史，对人类的历史作出了乐观的展望。这一历史观在19世纪和20世纪影响了几乎所有的思想家。但是，其后的两次世界大战证明了这种观念的空想性。20世纪的历史哲学家已作出了新的思考。但是，对人类历史乐观的向往，永远都是对人类命运最美妙的祈祷。

政治主张

在法国大革命取得胜利的时候，孔多塞这位法国侯爵以为，当时的狂热分子的掌权就已标志着他们的教育理念走向了它的反面。这位无所畏惧的启蒙者是数学家出身，平生最喜欢的科学就是数学。他的这种数学家本性在他的政治思想中也表露无遗:他使用统计学和概率论的方法来推导他的哲学观念。孔多塞信仰可操作的理性，因为只有这种理性才能实现"一种自由的宪法"和"市民的普遍教育"的协调一致。这种思想在当时来讲是很新颖罕见的。在法国大革命前他就已克服了那时候的特权阶层所特有的顽固不化。

孔多塞还主张男女平等，把科学看做是人的理性不断改进的工具，宣扬被压迫阶级的解放和所有人的公平正义。他的所有这些政治主张到现今为止依旧是毋庸置疑的。

数学成就

1765年出版了《积分计算》一书。同年出版了《论文集》，讨论了积分运算及相关的运算。1768年断言当时所有的超越函式（仅限于三角函式、对数函式、指数函式）都能用圆和双曲线构成。他证明了条件方程可以通过系数确定其可积性，并可通过系数运算进行降阶。在1785年的《概率分析的应用》里指出了概率计算在应用数学中的重要作用。他是第一个将数学应用于人类社会的科学家。他在1785年就预言了20世纪才兴起的一些综合性边缘学科，称之为"社会数学' .

悖论是什么意思

优质回答悖论的意思是指这样一种命题，按普遍认可的逻辑推理方式，推导的结论超出“通常可接受的见解”。

悖论是表面上同一命题或推理中隐含着两个对立的结论，而这两个结论都能自圆其说。悖论的抽象公式就是：如果事件A发生，则推导出非A，非A发生则推导出A。按《斯坦福哲学百科全书》“悖论”条目的定义，悖论的意思通常是指这样一种命题，按普遍认可的逻辑推理方式，推导的结论超出“通常可接受的见解”。或者说结论是有矛盾的。

古今中外有不少著名的悖论，它们震撼了逻辑和数学的基础，激发了人们求知和精密的思考，吸引了古往今来许多思想家和爱好者的注意力。解决悖论难题需要创造性的思考，悖论的解决又往往可以给人带来全新的观念。根据悖论形成的原因，把它归纳为六种类型，所记都是流传很广的常见悖论。

悖论研究的意义和影响

在19世纪末至20世纪初，逻辑和数学的基础受到许多困难（所谓的悖论）的发现的影响，特别是经典集合论中被发现有自相矛盾的现象，尤其是罗素悖论，以极为简明的形式震撼了数学的基础，这就是“第三次数学危机”。这些难题涉及基本概念以及定义和推理的基本方法，这些以前通常被认为是没有问题的。

悖论在当代逻辑中获得了新的作用，它们导致了新定理的发现（通常是负面的结果，例如不可证明性和不可判定性）。逻辑的几个基本概念发展过程，之所以已经到了目前的状态，通常是得益于解决悖论的各种尝试。对于集合（set）和类（collection）的概念，标准古典逻辑的基本句法和语义概念出现而言，尤其如此。

内容参考百度百科-悖论

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