单调性的证明方法

今天运困体育就给我们广大朋友来聊聊西甲排名函数的单调性全身,希望能帮助到您找到想要的答案。

本文目录导航：

• 1、单调性的证明方法
• 2、函数的单调性和单调区间一般如何判断？
• 3、怎样判断函数在某区间上的单调性？
• 4、如何判断函数的奇偶性与单调性
• 5、判断函数单调性常用的几个结论及证明？

单调性的证明方法

答单调性的证明方法如下：

证明(注意"证明"这两个字)单调性只有一种方法:定义即:令x1,x2属于定义域。不妨设x1>x2f(x1)-f(x2)。证明其大于或者小于0,只有这一种方法求单调区间。

拓展资料：

函数的单调性（monotonicity）也可以叫做函数的增减性。当函数f(x)的自变量在其定义区间内增大或减小时，函数值f(x)也随着增大（或减小），则称该函数为在该区间上具有单调性。

定义：

函数的单调性（monotonicity）也叫函数的增减性，可以定性描述在一个指定区间内，函数值变化与自变量变化的关系。当函数f(x)的自变量在其定义区间内增大（或减小）时。

函数值也随着增大（或减小），则称该函数为在该区间上具有单调性（单调递增或单调递减）。在集合论中，在有序集合之间的函数，如果它们保持给定的次序，是具有单调性的。

单调函数：

一般地，设一连续函数f(x)的定义域为D，则如果对于属于定义域D内某个区间上的任意两个自变量的值x1，x2∈D且x1>x2，都有f(x1)>f(x2)，即在D上具有单调性且单调增加，那么就f(x)在这个区间上是增函数。

相反地，如果对于属于定义域D内某个区间上的任意两个自变量的值x1，x2∈D且x1>x2，都有f(x1)<f(x2)，即在D上具有单调性且单调减少，那么就说f(x)在这个区间上是减函数。则增函数和减函数统称单调函数。

判断方法：

图象观察法在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。因此，在某一区间内，一直上升的函数图象对应的函数在该区间单调递增。

函数的单调性和单调区间一般如何判断？

答函数单调性判断方法：

1、图象观察法

在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。因此，在某一区间内，一直上升的函数图象对应的函数在该区间单调递增；

一直下降的函数图象对应的函数在该区间单调递减；

注意：对于分段函数，要特别注意。例如，上图左可以说是一个增函数；上图右就不能说是在定义域上的一个增函数（在定义域上不具有单调性）。

2、定义法

根据函数单调性的定义，在这里只阐述用定义证明的几个步骤:

①在区间D上，任取x1，x2，令x1<x2；

②作差f(x1)-f(x2)；

③对f(x1)-f(x2)的结果进行变形处理(通常是配方、因式分解、有理化、通分，利用公式等等)；

④确定符号f(x1)-f(x2)的正负；

⑤下结论，根据“同增异减”原则，指出函数在区间上的单调性。

3、等价定义法

设函数f(x)的定义域为D，在定义域内任取x1，x2，且x1≠x2，若[f(x1)-f(x2)]/(x1-x2)>0，则函数单调递增；若有 <0，则函数单调递减(证明从略)，是函数单调性的第二定义。

4、求导法

导数与函数单调性密切相关。它是研究函数的另一种方法，为其开辟了许多新途径。特别是对于具体函数，利用导数求解函数单调性，思路清晰，步骤明确，既快捷又易于掌握，利用导数求解函数单调性，要求熟练掌握基本求导公式。

如果函数y=f(x)在区间D内可导(可微)，若x∈D时恒有f'(x)>0，则函数y=f(x)在区间D内单调增加；反之，若x∈D时，f'(x)<0,则称函数y=f(x)在区间D内单调减少。

5、复合函数法

在函数y=f[g(x)]的定义域内，令u=g(x)，则y=f[g(x)]的单调性由u=g(x)与y=f(x)的单调性共同确定。复合函数的单调性可用“同增异减”来判定，但要考虑某些特殊函数的定义域。

注：y=f(x)+g(x)不属于复合函数，因此不在此方法的适用范围内。

怎样判断函数在某区间上的单调性？

答要判断一个函数在某个区间上的单调性，可以通过导数的正负来进行判断。

1. 首先，计算函数在给定区间内的导数。导数表示函数在某一点上的变化率。

2. 如果导数在整个区间内都大于零（即导数为正），则函数在该区间上是递增的（单调递增）。这意味着函数的取值随着自变量的增加而增加。

3. 如果导数在整个区间内都小于零（即导数为负），则函数在该区间上是递减的（单调递减）。这意味着函数的取值随着自变量的增加而减小。

4. 如果导数在区间内既大于零又小于零（即导数既正又负），则函数在该区间上不是单调的，可能存在局部最大值和局部最小值。

需要注意的是，导数为零的点是函数可能的极值点或拐点。在判断函数的单调性时，可以将导数为零的点作为关键点进行分析。

总结起来，判断函数的单调性的步骤如下：

1. 计算函数在给定区间内的导数。

2. 分析导数在该区间内的正负情况。

3. 根据导数的正负情况判断函数的单调性（递增、递减或不单调）。

需要注意的是，判断方法适用于可导的函数。对于不可导的函数，单调性的判断可能需要使用其他方法。

导数与函数的单调性之间的联系

首先，我们来定义导数：对于一个函数 f(x)，它在某个区间内可导。那么在这个区间内，f'(x) 表示函数 f(x) 在每个点 x 处的瞬时变化率或斜率。当导数 f'(x) 大于零时，表示函数在该点处的斜率为正，即函数递增；当导数小于零时，表示函数在该点处的斜率为负，即函数递减。导数的符号和函数的单调性之间存在对应关系。

根据导数的定义，我们可以得到以下结论：

1. 如果在某个区间内 f'(x) > 0，则函数 f(x) 在该区间上单调递增。这意味着函数的值随着自变量的增加而增加。

2. 如果在某个区间内 f'(x) < 0，则函数 f(x) 在该区间上单调递减。这意味着函数的值随着自变量的增加而减小。

3. 如果在某个区间内 f'(x) = 0，则函数 f(x) 在该点处可能存在极值点或拐点。需要进一步的分析来确定函数在该区间上的单调性。

导数大于零表示函数递增，导数小于零表示函数递减。通过计算函数的导数，我们可以判断函数在某个区间上的单调性。但需要注意的是，导数为零的点可能是函数的极值点或拐点，需要额外的分析来确定函数在该点的单调性。

的定义和结论适用于实数域上的函数。对于其他情况，如函数在离散点上定义、复数域上的函数等，可能需要使用其他方法来判断单调性。

导数判断单调性的应用

导数在判断函数的单调性方面具有广泛的应用，以下是一些具体的应用场景：

1.极值判断

函数的极值点处导数为零或不存在。通过计算导数并找出导数为零的点，可以确定函数在该点附近的单调性和极值情况。当导数从正变成负时，可以判断函数从递增转为递减，即存在局部最大值；当导数从负变成正时，可以判断函数从递减转为递增，即存在局部最小值。

2. 拐点判断

拐点是函数曲线由凸向上（下）转变为凹向上（下）的点。拐点处的导数存在但不连续，可能为零也可能不存在。通过计算导数并找出导数的变号点，可以确定函数的拐点位置及拐点处的单调性。

3. 函数图像的绘制

通过分析函数的导数，可以辅助绘制函数的图像。根据导数的正负变化来确定递增区间和递减区间，进而描绘出函数图像的大致形状。

4. 最优化问题

在最优化问题中，常常需要求解函数的最大值或最小值。通过计算函数的导数，并找到导数为零的点来确定函数的极值点，从而解决最优化问题。

需要注意的是，导数仅提供了函数单调性方面的一些信息，对于复杂的函数或特殊情况，可能需要进一步的分析和其他方法的辅助来判断函数的单调性和性质。

导数判断单调性的例题

当使用导数判断函数的单调性时，我们可以通过以下例题来说明：

例题：考虑函数 f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x。使用导数判断函数 f(x) 的单调性。

解答：首先，我们计算函数 f(x) 的导数 f'(x)。对于给定的函数 f(x)，我们有：

f'(x) = 3x^2 - 6x + 2

现在，我们需要找出 f'(x) = 0 的点，以确定可能的极值点。我们可以解方程 3x^2 - 6x + 2 = 0，得到：

x = (6 ± √(6^2 - 4*3*2)) / (2*3)

= (6 ± √(36 - 24)) / 6

= (6 ± √12) / 6

= (6 ± 2√3) / 6

= 1 ± √3 / 3

所以，f'(x) = 0 时，x 的解为 x = 1 + √3 / 3 和 x = 1 - √3 / 3。

接下来，我们将这些解代入 f'(x) 的表达式中，以确定函数 f(x) 在这些点附近的单调性：

当 x < 1 - √3 / 3 时，f'(x) < 0；

当 1 - √3 / 3 < x < 1 + √3 / 3 时，f'(x) > 0；

当 x > 1 + √3 / 3 时，f'(x) < 0。

结合这些信息，我们可以得出以下结论：

当 x < 1 - √3 / 3 时，函数 f(x) 是递增的；

当 1 - √3 / 3 < x < 1 + √3 / 3 时，函数 f(x) 是递减的；

当 x > 1 + √3 / 3 时，函数 f(x) 是递增的。

因此，根据导数的正负变化，我们可以判断函数 f(x) 的单调性。在本例中，函数 f(x) 在区间 (−∞, 1 - √3 / 3) 递增，在区间 (1 - √3 / 3, 1 + √3 / 3) 递减，并在区间 (1 + √3 / 3, +∞) 再次递增。

这是一个简单的例题，通过求解导数并分析导数的正负变化，我们可以判断函数的单调性和区间。在实际应用中，函数可能更为复杂，但使用导数进行判断的思路是相似的。

如何判断函数的奇偶性与单调性

答一、函数的单调性

根据定义解题：y=f(x)在其定义域内，当x1<x2时，若在某个区间f(x1)<f(x2)，则为单调递增；若在某个区间f(x1)>f(x2)，则为单调递减！

所以解题时，按如下过程：

1.先求定义域；

2.设x1<x2均属于定义域，然后计算f(x2)-f(x1)，最终结果化成几个含有如(x2-x1)等可以判别下负的因式的积；

3.然后根据x1、x2的取值范围分别讨论判断几个因式的积是>0还是<0，从而确定：f(x2)<f(x1)，单调减；还是：f(x2)>f(x1)，单调增！

4.综合结论！

严格按照上述步骤解题轻车熟路！

二、函数的奇偶性

定义：对于任意x∈R，都有f(-x)=(-x)^2=x^2=f(x).这时我们称函数f(x)=x^2为偶函数；

对于函数f(x)=x的定义域R内任意一个x，都有f(-x)=-f(x），这时我们称函数f(x)=x为奇函数。

解题：判断函数的奇偶性，首先是检验其定义域是否关于原点对称，然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与f(x）比较得出结论！

判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义、变式。

变式：奇：f(x)+f(-x)=0 f(x)*f(-x)=-f^2(x) f(x)/f(-x)=-1

偶：f(x)-f(-x)=0 f(x)*f(-x)=f^2(x) f(x)/f(-x)=1

判断函数单调性常用的几个结论及证明？

答1.定义法

定义法是求具体函数单调性的一个基本方法，具体步骤可以分为5步：

①取值：在所给区间取任意的x1,x2；

②作差：作函数值之差，即f(x1)-f(x2)；

③变形：对②中的式子进行变形，常用方法有因式分解、通分、分子分母有理化、配方等方法；

④判号：判断f(x1)-f(x2)的正负；

⑤作结论：若x1＜x2，且f(x1)-f(x2)＜0，则为增函数；若x1＜x2，且f(x1)-f(x2)＞0，则为减函数。

2.函数性质法

函数性质法是利用常见的简单函数的单调性来判断一个相对复杂的函数单调性的方法，相比定义法过程更加简单。常用性质有：

①y=af(x)与y=f(x)的单调性：a＞0，两者相同；a＜0，两者相反；

②f(x)＞0，y=√f(x)与f(x)的单调性相同；

③f(x)≠0，y=1/[f(x)]与f(x)的单调性相反；

④增＋增=增，增-减=增，减＋减=减，减-增=减。

3.图像法

图像法是利用函数图像的升降性来判断函数单调性。图像法的特点是形象直观，但图像法一般只用于比较容易画出函数图像的函数或者已知函数图像的函数：图像上升为增函数，图像下降为减函数。图像法也是求函数单调区间的一种常用方法。

4.复合函数法

复合函数f[g(x)]是由内层函数u=g(x)和外层函数y=f(u)复合而成，其解析式一般比较复杂，直接求解单调性比较困难，此时可以由复合函数的内外层函数的单调性入手，分别求出内层函数u=g(x)和外层函数y=f(u)的单调性，再利用“同增异减”的性质判断出复合函数f[g(x)]的单调性。

二、抽象函数

5.凑差法，6.添项法

抽象函数因为没有给出解析式也没有给出图像，很多同学感觉无从下手，甚至直接放弃，其实掌握方法也并不难。

抽象函数单调性的求解主要是利用单调性的定义以及变形形式，关键是充分利用题目中给出的关系式，通过这个关系式构造出f(x1)-f(x2)的形式，构造的常用方法有凑差法和添项法，然后判断出f(x1)-f(x2)的正负即可。

今天的内容先分享到这里了，读完本文《单调性的证明方法》之后，是否是您想找的答案呢？想要了解更多，敬请关注www.zuqiumeng.cn,您的关注是给小编最大的鼓励。