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如何判断函数的单调性

如何判断函数的单调性

最佳答案判断函数单调性的方法有以下3种：

1.作差法（定义法）

根据增函数、减函数的定义，利用作差法证明函数的单调性，其步骤有：取值，作差，变形，判号，定性。其中，变形一步是难点，常用技巧有：整式型---因式分解、配方法，还有六项公式法，分式型---通分合并，化为商式，二次根式型---分子有理化。

具体：先在区间上取两个值，一般都是X1、X2，设X1＞X2（或者X1＜X2）然后把X1、X2代进去f(x)解析式做差，也就是算f(X1)-f(X2)关键一步就是化简，一般化成乘或除的形式。

这样好判号比如：你设的是X1＞X2这个条件，最后化简下来满足f(X1)-f(X2)＞0的话，它在区间上就是增函数，反之则为减函数。

2.图像法

利用函数图像的连续上升或下降的特点判别函数的单调性。

3.导数法

利用导函数的符号判别函数的单调性。

函数单调性的定义

一般地，设函数定义域为I.如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1< x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数。

函数单调性的规律是什么？

最佳答案增+增=增，减+减=减，增-减=增，减-增=减

有规律的是：单调递增的加单调递增的”函数的单调性是增

单调递减的加单调递减的 函数的单调性是减

单调递增的减单调递减的 函数的单调性是增

单调递减的减单调递增的 函数的单调性是减

乘与除的都无法确定

复合函数的：

1.内层与外层单调性相同的为增

2.内层与外层单调性不同的为减

正所谓：同增异减

参考资料:

关于奇偶性:

1.两个奇函数的和(差)仍是奇函数,两个偶函数的和(差)仍是偶函数.

2.奇偶性相同的两个函数的积、商(分母不为0)为偶函数，奇偶性相反的两个函数的积、商(分母不为0)为奇函数.

关于单调性:

1.函数f(x)与f(x)+c(c为常数)具有相同的单调性.

2.c>0时,函数f(x)与c*f(x)具有相同的单调性;c<0时,函数f(x)与c*f(x)具有相反的单调性.

3.若函数f(x),g(x)都是增(减)函数,则f(x)+g(x)仍是增(减)函数.

4.若f(x)>0,g(x)>0,且f(x)与g(x)都是增(减)函数.则f(x)*g(x)也是增(减)函数;若f(x)<0,g(x)<0,且f(x)与g(x)都是增(减)函数.则f(x)*g(x)是减(增)函数

判断函数单调性的常见方法有哪些？

最佳答案判断函数单调性的常见方法

一、 函数单调性的定义：

一般的，设函数y=f(X)的定义域为A,I↔A，如对于区间内任意两个值X1、X2，

1）、当X1<X2时，都有f(X1)<f(X2),那么就说y=f(x)在区间I上是单调增函数，I称为函数的单调增区间；

2）、当X1>X2时，都有f(X1)>f(X2),那么就说y=f(x)在区间I上是单调减函数，I称为函数的单调减区间。

二、 常见方法： Ⅰ、定义法：

定义域判断函数单调性的步骤 ① 取值：

在函数定义域的某一子区间I内任取两个不等变量X1、X2，可设X1<X2; ② 作差（或商）变形：

作差f(X1)-f(X2)，并通过因式分解、配方、有理化等方法向有利于判断差的符号的方向变形； ③ 定号：

确定差f(X1)-f(X2)的符号； ④ 判断：

根据定义得出结论。

例：已知函数f(x)=x3+x,判断f(x)在(-∞，+∞)上的单调性并证明

解：任取x1、x2↔(-∞，+∞)，x1<x2,则

f﹙x1﹚-f﹙x2﹚=(x13+x1)- (x23+x2)=(x1-x2)+(x13-x23)

=(x1-x2)(x12+x22+x1x2+1)

=(x1-x2) [﹙x1+1/2x2﹚2+1+3/4x22]

∵x1、x2↔(-∞，+∞)，x1<x2, ∴x1-x2<0,（x1+1/2x2﹚2+1+3/4x22>0 故f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2) ∴f(x)在(-∞，+∞)上单调递增

Ⅱ、直接法（一次函数、二次函数、反比例函数的单调可直接说出）： ① 函数y=-f(x)的单调性相反

② 函数y=f(x)恒为正或恒为负时，函数y=f(x)的单调性相反 ③ 在公共区间内，增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数 例：判断函数y=-x+1+1/x在（0，+∞）内的单调性 解：设y1=-x+1,y2=1/x,

∵y1在（0，+∞）上↓，y2在（0，+∞）上↓, ∴y=-x+1+1/x在（0，+∞）内↓

Ⅲ、图像法：

说明：⑴单调区间是定义域的子集 ⑵定义x1、x2的任意性

请一下

如何判断函数的单调性？

最佳答案函数的单调性（monotonicity）也可以叫做函数的增减性。

方法：

1、图象观察法

如上所述，在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。因此，在某一区间内，一直上升的函数图象对应的函数在该区间单调递增；一直下降的函数图象对应的函数在该区间单调递减。

2、求导法

导数与函数单调性密切相关。它是研究函数的另一种方法，为其开辟了许多新途径。特别是对于具体函数，利用导数求解函数单调性，思路清晰，步骤明确，既快捷又易于掌握，利用导数求解函数单调性，要求熟练掌握基本求导公式。

如果函数y=f(x)在区间D内可导(可微)，若x∈D时恒有f'(x)>0，则函数y=f(x)在区间D内单调增加；反之，若x∈D时，f'(x)<0,则称函数y=f(x)在区间D内单调减少。

扩展资料

判断函数单调性的方法步骤

利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：

①任取x1，x2∈D，且x1＜x2;

②作差△y=f(x1)-f(x2);

③变形(通常是因式分解和配方);

④定号(即判断△y的正负);

⑤下结论(即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性)。

即为：取值 → 作差 → 变形 → 定号 → 下结论。

参考资料来源：百度百科-单调性

函数单调性的判断方法有哪些

最佳答案函数单调性的判断方法有导数法、定义法、性质法和复合函数同增异减法。

1、导数法

首先对函数进行求导，令导函数等于零，得X值，判断X与导函数的关系，当导函数大于零时是增函数，小于零是减函数。

2、定义法

设x1，x2是函数f(x)定义域上任意的两个数，且x1＜x2，若f(x1)＜f(x2)，则此函数为增函数；反知，若f(x1)＞f(x2)，则此函数为减函数.

3、性质法

若函数f(x)、g(x)在区间B上具有单调性，则在区间B上有：

⑴ f(x)与f(x)＋C（C为常数）具有相同的单调性；

⑵ f(x)与c•f(x)当c＞0具有相同的单调性，当c＜0具有相反的单调性；

⑶当f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)＋g(x)都是增(减)函数；

⑷当f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)•g(x)当两者都恒大于0时也是增(减)函数，当两者都恒小于0时也是减(增)函数；

4、复合函数同增异减法

对于复合函数y＝f [g(x)]满足“同增异减”法(应注意内层函数的值域)，可令 t＝g(x)，则三个函数 y＝f(t)、t＝g(x)、y＝f [g(x)]中，若有两个函数单调性相同，则第三个函数为增函数；若有两个函数单调性相反，则第三个函数为减函数。

拓展资料：

1、奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性；

2、互为反函数的两个函数有相同的单调性；

3、如果f(x)在区间D上是增（减）函数，那么f(x)在D的任一子区间上也是增（减）函数.

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